O USO DAS FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS NO ENSINO DA ENGENHARIA: CONCEITOS E APLICAÇÕES

Engenharia e Construção

19/02/2016

1. Introdução

            O ensino de Matemática, assim como todo ensino, contribui (ou não) para as transformações sociais não apenas através da socialização (em si mesma) do conteúdo matemático, mas também através de uma dimensão política que é intrínseca a essa socialização. Trata-se da dimensão política contida na própria relação entre o conteúdo matemático e a forma de sua transmissão-assimilação (DUARTE, 1987).

            O ponto de vista que parece de fundamental importância e que representa o verdadeiro espírito da matemática é a capacidade de modelar situações reais, codificá-las adequadamente, de maneira a permitir a utilização das técnicas e resultados conhecidos em outro contexto, novo, isto é, a transferência de aprendizado resultante de certa situação para a situação nova, é um ponto crucial do que se poderia chamar aprendizado da matemática, e talvez o objetivo maior do seu ensino (D’AMBRÓSIO, 1986).

            Embora seja uma das mais importantes ferramentas matemáticas, o Cálculo Diferencial e Integral (CDI) dificilmente é abordado sob uma perspectiva histórica nos cursos de graduação. Entretanto, esta visão histórica é fundamental para estabelecer uma ponte entre a teoria matemática e suas aplicações em ciências e engenharia (LUIZ & De CÓL, 2014). Segundo Guidorizzi (2001), o curso de cálculo é dividido em três etapas: o estudo dos limites, derivação e integração, muitas vezes precedido pelo estudo de funções de números reais e gráficos. Estas etapas são lecionadas nos primeiros anos dos cursos de engenharia, para que os discentes tenham arcabouço necessário para resolver problemas práticos e reais em sua profissão, utilizando o cálculo como ferramenta.

            Estudantes de todos os níveis de escolaridade, como bem se sabe, apresentam dificuldades de aprendizagem nos conteúdos matemáticos. Encontramos na literatura estudos que buscam entender as razões dessas dificuldades e, ao mesmo tempo, procuram encontrar alternativas para o ensino desses conteúdos (CURY, 2007; POCHULU, 2004; FERREIRA & BRUMATTI, 2009). Uma possível resposta para esse baixo nível de desempenho é a falta de interesse dos alunos. Isso se estende aos estudantes de cálculo. Uma vez que o conteúdo é trabalhado de forma exageradamente teórica, com poucas aplicações práticas, o aluno é conduzido ao desinteresse, não conseguindo visualizar e assimilar uma finalidade para o assunto. A partir disso, estes discentes sentirão dificuldades para resolver problemas práticos de outras disciplinas, uma vez que a importante ferramenta do cálculo não foi contemplada de uma maneira que despertasse neles o entendimento correto de como aplicar esse conhecimento. O aluno conhece a ferramenta, porém não sabe como utilizá-la de maneira prática.

            É urgente a necessidade da adoção de novos comportamentos no que concerne à prática docente dessa disciplina, com o intuito de promover um aprendizado mais significativo. Nesse contexto, entende-se por significativo a possibilidade de envolver o estudante em conteúdos matemáticos com problemas que sejam motivadores e que, por exemplo, estejam relacionados a temas da sua realidade, isto é, associados a assuntos direcionados ao meio ambiente, à saúde pública, a demanda de energia, etc. Isso ocorre naturalmente quando fazemos uso dessa estratégia, empregando a modelagem matemática para o ensino e aprendizagem (FERREIRA & PENEREIRO, 2010). No processo educativo, os futuros profissionais devem ser criativos diante do mundo em constantes transformações, desenvolvendo seu discernimento em meio à complexidade, bem como sua ação e atitude para decidir e ousar.

            Neste contexto, visando colaborar com a aproximação do curso de Cálculo e de suas imprescindíveis ferramentas na solução de problemas práticos, de entendimento e assimilação dos alunos dos cursos de engenharia, o objetivo deste trabalho é mostrar que a partir de dados reais é possível usar vários conteúdos do Cálculo, tornando a aprendizagem desses conteúdos mais significativos para os estudantes, vinculando os conceitos matemáticos enfocados em sala de aula com a realidade do cotidiano e aliados a tecnologia disponível.

 

2. Revisão bibliográfica

            O propósito dessa seção é apresentar brevemente as definições das ferramentas estudadas em Cálculo, e a partir disso, caracterizar sua funcionalidade prática através de estudos que se utilizaram destes conceitos para resolução de problemas reais, problemas estes que fazem parte do nosso dia a dia.

            Reconhecer a aplicabilidade do cálculo em situações do cotidiano, principalmente no que se refere à organização de dados e obtenção de informações, facilita o trabalho desempenhado nos mais variados eixos sociais, científicos e tecnológicos. Encontra-se assim, em diversos eixos profissionais a necessidade de competências matemáticas adequadas. Uma delas, muito utilizada nos mais variados meios de produção científica e tecnológica, é a aplicação do CDI (funções, limites, derivadas e integrais).

 

2.1. Funções Multivariáveis

 

            As funções multivariáveis podem ser aplicadas em várias situações do nosso cotidiano, como por exemplo: para calcular volumes (determinar o volume de uma piscina); estimar derramamentos de óleo em corpos d’água; calcular a pressão de um determinado gás; calcular as variações de preço de algum produto; entre outros.

            No que se refere ao estudo das técnicas da oceanografia operacional, temática escolhida para demonstrar uma aplicação do uso das funções multivariáveis, muitos estudos tem utilizado essa ferramenta para criar, disseminar e interpretar medições de mares e oceanos (temperatura à superfície da água, a intensidade e direção do vento ou correntes marítimas, altura e direção das ondas) (Douglas, 1990; Ware et al.,2009; David & Ware, 2013). Segundo Gomes (2014), estas características são exemplos de dados espaço-temporais multivariáveis, porque para um determinado espaço e tempo, existem múltiplas variáveis com diferentes valores e magnitudes a serem representadas.

 

2.2. Limites

            Em matemática, os limites são utilizados no cálculo diferencial e em outros ramos da análise matemática para definir derivadas e a continuidade de funções. O conceito de limite é usado para descrever o comportamento de uma função à medida que o seu argumento se aproxima de um determinado valor, assim como o comportamento de uma sequência de números reais, à medida que o índice (da sequência) vai crescendo, e tende para infinito (IEZZI et al., 2005).

            O cálculo do limite pode ser aplicado em questões que envolvam variação de volume em relação à temperatura, como por exemplo, na análise da curva temperatura-tempo de gases quentes em um compartimento em chamas (KAEFER & SILVA, 2004), na qual é possível determinar a temperatura máxima atingida de um determinado gás durante um incêndio. Através destas determinações, é possível criar ensaios que possibilitem a contenção de um possível incêndio. O limite também é uma ferramenta amplamente utilizada no Sistema Financeiro Imobiliário (SFI), pois atua no cálculo de amortização de dívidas e empréstimos (CALVI, 2010). Neste caso, o cálculo do limite da função é muito importante para determinar o número de parcelas de um possível empréstimo, e que para empréstimos de longo prazo, o devedor paga apenas os juros, que são suficientes para amortizar o empréstimo.

            Na aplicação proposta neste trabalho, Forster (2013) aplica o limite numa propriedade do ramo da Física, a variação de temperatura de uma placa metálica. Neste quesito, o limite serve para mensurar se a temperatura varia positivamente, negativamente ou se mantém estável.

 

2.3. Derivadas Parciais

            No cálculo, a derivada representa a taxa de variação instantânea de uma função. Um exemplo típico é a função velocidade que representa a taxa de variação (derivada) da função espaço. Do mesmo modo a função aceleração é a derivada da função velocidade (GONÇALVES & FLEMMING, 1999). Uma derivada parcial representa a taxa de mudança de uma função dependente de várias variáveis independentes, quando todas as variáveis exceto uma são mantidas constantes.

            Na aplicação desta ferramenta matemática, Paladino (2000) discorre sobre a aplicação de um modelo matemático voltado para a contenção de derrames de petróleo, no qual as derivadas parciais assumem um importante papel no cálculo da angulação de espessura da mancha, permitindo assim, através de seus resultados, mensurar qual é sua taxa de variação e de que maneira a expansão da mancha será contida. Fay (1971), Fannelop & Waldman (1971), Hoult (1972), Foda & Cox (1980), Shen & Yapa (1988), Borthwick & Jones (1992), Meyer et al. (1998) e outros, desenvolveram diferentes tipos de modelos de derrames de petróleo, alguns para modelos de trajetória, outros de concentração na coluna d’água, mas em todos havia a preocupação de quantificar a distribuição do óleo, portanto o cálculo diferencial e as derivadas parciais estão presentes nos mais variados ensaios sobre modelos matemáticos voltados para o derramamento de petróleo.

 

2.4. Integrais múltiplas

            O cálculo integral, através de seus conceitos e resultados, consegue resolver diversas situações-problema do dia a dia, e em diferentes áreas como na matemática, na ecologia, na cibernética, na administração, na economia, na física e na medicina. Talvez por este vasto campo de aplicações justifique-se a introdução ao estudo do Cálculo Integral em muitos cursos de graduação (LIMA & SILVA, 2012).

            A integração talvez seja a ferramenta do cálculo que seja aplicada em mais situações, principalmente relacionadas à física. A integração consiste em um somatório de parcelas muito pequenas conhecidas como infinitesimais (GALVÃO, 2008). Em um contexto físico, essa soma de infinitesimais tem aplicações na determinação de algumas grandezas de interesse, inclusive, para a engenharia.

            Basicamente, o cálculo de integrais múltiplas serve para calcular volume, como por exemplo, medir o volume de um tanque para cultivo de peixes. Aplicando uma integral dupla nos respectivos valores da dimensão deste tanque, conseguimos encontrar o volume esperado. Jachic et al.(2002) também fez uso das integrais múltiplas para calcular o volume de um reservatório elipsoidal para o armazenamento de fluidos gasosos sob alta pressão.

            Na aplicação proposta neste trabalho, Lima & Silva (2012) apresentam o uso da integral dupla para calcular a força resultante de uma carga sobre uma superfície, exemplificando o despejo de uma determinada carga num reservatório de água.

 

 

3. Aplicações das funções de várias variáveis

 

3.1. Aplicação em Engenharia da Computação de funções multivariáveis

 

            O presente item incide sobre o problema da visualização de dados oceanográficos multivariáveis de natureza espaço-temporal, em dispositivos móveis, propondo uma inovadora solução de visualização de informação, combinando diferentes técnicas de visualização científica, explorando propriedades gráficas (fluxos, cor e símbolos), voltados à temperatura, ondulação, fluxos de vento, técnicas de visualização e previsão meteorológica (GOMES, 2014). Nota-se nesta descrição, a multifuncionalidade da informação proposta por Gomes (2014), uma vez que seu produto, ainda que apresente tecnologia para a Engenharia Informática e Computação, aborda temas de Oceanografia, Biologia e Mudanças Climáticas.

 

3.1.1. Interpolação Bilinear

            Como a tecnologia proposta por Gomes (2014) espera desenvolver um aplicativo que permita a visualização de dados oceanográficos espaço-temporais multivariáveis em dispositivos móveis, num determinado momento da produção do aplicativo, houve um entrave na qualidade de imagem da representação de fluxos animados de vento para o protótipo. Há certas limitações no processamento de dados num dispositivo móvel, portanto a quantidade de informação a ser transferida não deve superar certos volumes. Para solucionar este problema, é preciso reduzir a quantidade de dados a serem visualizados, necessitando-se assim, da redução da resolução espacial de informação.

            A solução tecnológica implementada passa pelo uso de uma grelha com a dimensão da resolução espacial pretendida, através da qual se utiliza uma interpolação Bilinear para se conseguir obter os valores da intensidade e direção do vento nos locais onde se pretende criar e animar um fluxo de vento (GOMES, 2014).

            Através da área da Matemática, Yan et al. (2010) define a interpolação Bilinear como uma extensão da interpolação linear para interpolar funções de duas variáveis numa grelha  de duas dimensões regulares. Segundo ele, a ideia principal por detrás do algoritmo da interpolação linear é efetuar uma interpolação linear numa direção (e.g. eixo das abcissas) e interpolar outra vez, noutra direção (e.g. eixo das ordenadas).

Gomes (2014) pretendia descobrir o valor de uma função f num determinado ponto do mapa, onde P=(x,y), era conhecido como valor de f nos pontos Q₁₁ = (x₁, x₂), Q₁₂ = (x₁, x₂), Q₂₁ = (x₁, x₂) e Q₂₂ = (x₁, x₂). O algoritmo consiste nas interpolações lineares na direção do eixo das abcissas para se determinar o valor de f(R₁) e f(R₂). Em seguida, ao se obter os valores das funções nos pontos R₁ e R₂, foi feita uma nova interpolação linear, desta vez no eixo das ordenadas, para ser calculado o valor de f no ponto P.

O recurso a esta técnica de interpolação possibilita a obtenção de valores para dados, em todo e qualquer ponto da malha de representação.

            Após o uso da ferramenta de interpolação linear, o autor do protótipo segue com as experimentações finais para a composição integral do aplicativo. Não seguiremos o raciocínio para a continuidade da elaboração do protótipo, pois a intencionalidade do presente texto já foi cumprida, demonstrar o uso das funções multivariáveis na aplicação da Engenharia da Computação, e suas estrapolações para outras formações profissionais. 

3.2.  Aplicação Física de Limite

 

            Suponha que uma placa metálica plana tenha a forma disforme. Cada ponto (x,y) da placa corresponde a uma temperatura f(x,y), que é registrada por um termômetro representado pelo eixo z. Quando o ponto (x,y) move-se na placa, a temperatura pode aumentar, diminuir ou se manter constante, portanto, o ponto do eixo z que corresponde a f(x,y) se moverá numa direção positiva, numa direção negativa ou se manterá fixo, respectivamente. Se a temperatura f(x,y) aproxima-se de um valor fixo L quando (x,y) aproxima-se de um ponto fixo (a,b), utilizamos a seguinte notação:

 

 lim f(x,y) = L ou f(x,y)       L quando (x,y)        (a,b)

_{(x,y)    (a,b)} 

3.3. Aplicação da Derivada Parcial em Engenharia Ambiental, Engenharia do Petróleo e Engenharia Mecânica

 

            Neste caso, demonstra-se aqui a aplicação das derivadas parciais nas atribuições dos engenheiros mecânicos, engenheiros do petróleo e engenheiros ambientais. O assunto a ser tratado agora é a modelagem matemática e simulação de trajetórias de derrames de petróleo no mar.

            O objetivo do estudo desenvolvido por Paladino (2000) era desenvolver um modelo matemático baseado nas equações de Navier-Stokes (equações diferenciais que descrevem o escoamento de fluidos) aplicadas à mancha de óleo, integradas ao longo da espessura de uma mancha. São equações derivadas parciais que permitem determinar os campos de velocidade e de pressão num escoamento.

            Esta metodologia é desenvolvida utilizando-se coordenadas curvilíneas generalizadas, com o intuito de captar facilmente as complexas geografias costeiras para os casos de derrames em regiões litorâneas.

            A motivação expressa nestes tipos de pesquisa está nas preocupações com o meio ambiente e seu retorno à sociedade, uma vez que um derrame petroleiro pode causar danos profundos em regiões costeiras, acarretando em efeitos nocivos para o ecossistema local.       Paladino (2000) lembra algumas catástrofes ambientais que ocorreram em proporções desastrosas: os derrames do Argo Merchant (17.000 m3) e Amoco Cadiz (622.000 m3) acontecidos no Mar do Norte, Exxon Valdez em Alasca (40.000 m3) ou o derrame acontecido recentemente na Baía de Guanabara (1.000 m3) que nos toca bem perto. Mesmo sendo este último de menor magnitude em comparação com os anteriores mencionados, o fato de ter acontecido dentro de uma baía faz com que os efeitos sejam muito nocivos para o ecossistema local.

            Por conta destes últimos atenuantes, grande atenção vem sendo dada a estas catástrofes por várias áreas de pesquisa (física, química, mecânica de fluídos, meio ambiente, simulação numérica), uma vez que impactos dessa magnitude abrangem danos econômicos, problemas na pesca ou outro tipo de recurso marinho (matéria prima), além de inutilizar o turismo desses locais.

            O conhecimento da trajetória tomada pelo derramamento de petróleo quando este ganha o corpo d’água é peça chave no combate a poluição e recuperação do ambiente, além de possibilitar a determinação de áreas que poderiam ser atingidas no caso de um derrame.