Inequações Produto

Educação e Pedagogia

04/09/2015

Quando possuímos um produto em uma inequação, devemos resolvê-la de forma diferente da que resolvemos um produto de uma equação.
Veja o exemplo:

(2x+3).(5x-2)>0

Se fosse uma igualdade, aplicaríamos a propriedade distributiva, mas como se trata de uma relação, vamos resolver cada uma das inequações separadamente como se fosse uma igualdade para achar a raiz da equação.
Chamaremos então de f(x) e g(x).

f(x) 2x + 6 = 0 e g(x) 5x – 10 = 0
2x = -6 e 5x = 10
x = -3 e x = 2

Como se trata de uma multiplicação teremos que fazer um estudo dos sinais. Para isso vamos representar as inequações no plano cartesiano.
Vamos lá?!

Para f(x) o valor de a é positivo, igual a 2, portanto o gráfico é crescente.
Para g(x) o valor de a também é positivo , igual a 5 (cinco), portanto o gráfico também é crescente.
Estudo dos sinais:

Como queremos que o resultado da nossa multiplicação seja >0, então colocaremos o resultado onde o sinal é positivo.
S = {x ? R│x < -3 ou x >2}
Lemos: x pertence aos números reais tal que x seja menor que -3 ou maior que 2.
Note que em nossa tabela há bolinhas ( ), chamada bolinha vazia porque as raízes (-3 e 2) não entram no resultado.
Vamos resolver outro exemplo:
Considerando o universo dos números inteiros, vamos determinar o conjunto solução da inequação abaixo:
(8x – 4).(2 – 3x) > - 6x + 8
Primeiro resolveremos cada uma das inequações separadamente igualando a zero.
A) 8x – 4 = 0 B) 2 – 3x = 0 C) - 6x + 8 = 0
8x = 4 -3x = -2. (-1) - 6x = - 8 (-1)
x = 4 3x = 2 6x = 8
8 x = 8
x = 1 x = 2 6
2 3 x = 4
3
Agora faremos os gráficos dessa inequação.

1°gráfico: O valor de a é positivo, igual a 8, portanto o gráfico é crescente.
2°gráfico: O valor de a é negativo, igual a -3 , portanto o gráfico é decrescente.
3°gráfico: O valor de a é negativo, igual a -6, portanto o gráfico é decrescente.

Como as raízes (½, 2/3 e 4/3) não fazem parte do resultado utilizamos bolinha vazia.
Queremos que o resultado da nossa multiplicação seja >0, portanto positivo. Então nosso conjunto solução será:
S = {x ? R│x< ½ ou 2/3 < x < 4/3}
Lemos: x pertence aos reais tal que x seja menor que ½ ou x esteja entre 2/3 e 4/3.
Agora vamos fazer juntos!
Calcule a seguinte inequação-produto:
(5x – 20).(24 – 8x) ≤ 6x + 10
Primeiro resolvemos cada uma das inequações separadamente igualando a zero.
A B C
5x – 20 = 0 24 – 8x = 0 6x + 10 = 0
5x = 20 -8x = -24 (-1) 6x = -10
x = 20 8x = 24 x = -10
5 x = 24 6
x = 4 8 x = -5
x = 3 3
Em A o valor de a é 5, valor positivo – gráfico crescente.
Em B o valor de a é -8 , valor negativo – gráfico decrescente.
Em C o valor de a é 6, valor positivo – gráfico crescente.


Queremos que as raízes (-5/3, 3 e 4) façam parte do resultado, pois queremos que a inequação seja menor e igual a zero, isto é valores negativos incluindo as raízes.
Portanto, nosso conjunto solução será:
S = {x ? R │- 5/3 ≤ x ≤ 3 e x ≥ 4}